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Análisis Real - pre-maestría IMCA 2024 | parte 2
by gwynplaine
Esta es la segunda parte del solucionario del examen del curso de análisis real de la pre-maestría del IMCA, 2024. Para ver la primara parte, puedes hacer clic en el siguiente enlace.
Pregunta 3
Enunciado
Sea $f,g : [0,1] \rightarrow [0,1]$ dos funciones continuas tales que $f\circ g = g\circ f$. Muestre que existe $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=g(x)$
Solución
Observemos que, como $f$ y $g$ son continuas, entonces existen $x,y\in [0,1]$ tales que $f(x)=x$ y $g(y)=y$
| Sea $F = {x\in[0,1] | f(x)=x}$, afirmamos que $F$ es cerrado. |
Sea $(x_n)\subset F$ una sucesión convergente con $x_n \to x\in [0,1]$, entonces $f(x_n) \to f(x)$. Pero tenemos que $f(x_n) = x_n, \forall n\in\mathbb{N}$, por ser estos puntos fijos de $f$. $$ \Rightarrow f(x_n) = x_n \to x = f(x) $$ Luego, toda sucesión $x_n$ de puntos en $F$ converge a un punto de $F$. Ergo, $F$ es cerrado; y como $F\subset[0,1]$, $F$ es acotado. De ahí, $F$ es compacto.
Sean $a=\inf{F}$ y $b=\sup{F}$, $a,b\in F$ por ser $F$ compacto. Además, la restricción de $g|_{[a,b]}$ es continua y se cumple que $g(a) \geq a$ y $g(b) \leq b$, debido a que $g(a), g(b)\in F$.
Definimos la función
$$
\begin{aligned}
h : [a,b] &\to \mathbb{R}\\
x &\mapsto h(x) = f(x) - g(x)
\end{aligned}
$$
Observe que $h(a) = f(a) - g(a) = a - g(a) \leq 0$ y $h(b) = f(b) - g(b) = b - g(b) \geq 0$. Como $h$ es continua por ser diferencia de funciones continuas, entonces existe $z\in[a,b], h(z) = 0$. Luego $f(z) = g(z)$.
Pregunta 4
Enunciado (Principio de condensación de Cauchy)
Sea $b>1$ entero, y sea $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión decreciente de números reales no negativos. Pruebe que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ es convergente si, y solo si, la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{b^n a_{b^n}}$ es convergente.
Solución
$(\Rightarrow)$ veamos. Como $(a_n)$ es decreciente, tendremos:
$$
\begin{aligned}
(b-1)\cdot a_b &\leq a_1+a_2+…+a_b \\
(b^2-b)\cdot a_{b^2} &\leq a_{b+1}+a_{b+2}…+a_{b^2}\\
(b^3-b^2)\cdot a_{b^3} &\leq a_{b^2+1}+a_{b^2+2}…+a_{b^3}\\
(b^4-b^3)\cdot a_{b^4} &\leq a_{b^3+1}+a_{b^3+2}…+a_{b^4}\\
&\vdots\\
(b^n-b^{n-1})\cdot a_{b^n} &\leq a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}…+a_{b^n}\\
\end{aligned}
$$
lo que es equivalente a
$$
\begin{aligned}
(b-1)\cdot a_b &\leq a_1+a_2+…+a_b \\
(b-1)\cdot b\cdot a_{b^2} &\leq a_{b+1}+a_{b+2}…+a_{b^2}\\
(b-1)\cdot b^2\cdot a_{b^3} &\leq a_{b^2+1}+a_{b^2+2}…+a_{b^3}\\
(b-1)\cdot b^3\cdot a_{b^4} &\leq a_{b^3+1}+a_{b^3+2}…+a_{b^4}\\
&\vdots\\
(b-1)\cdot b^{n-1}\cdot a_{b^n} &\leq a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}…+a_{b^n}\\
\end{aligned}
$$
Sumando, obtendremos:
$$
\begin{aligned}
(b-1)\cdot\sum_{k=1}^n {b^{k-1}\cdot a_{b^k}} &\leq \sum_{k=1}^n {a_k} \\
\Rightarrow \sum_{k=1}^n {b^{k-1}\cdot a_{b^k}} &\leq \frac{1}{b-1}\cdot\sum_{k=1}^n {a_k}\\
\Rightarrow \sum_{k=1}^n {b^{k}\cdot a_{b^k}} &\leq \frac{b}{b-1}\cdot\sum_{k=1}^n {a_k}
\end{aligned}
$$
Como $\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}$ es convergente, entonces $\sum_{k=1}^{\infty} {b^{k}\cdot a_{b^k}}$ está
acotada superiormente. Como los términos son no negativos, entonces $(\sum {b^{k}\cdot a_{b^k}})_{k\in\mathbb{N}}$
es una sucesión creciente, luego es convergente.
$(\Leftarrow)$ de manera similar, vemos que:
$$
\begin{aligned}
a_1+a_2+…+a_b^2 &\leq a_b+…+a_b = (b^2-b)\cdot a_b \\
a_{b^2+1}+a_{b^2+2}…+a_{b^3} &\leq a_b^2+…+a_b^2 = (b^3-b^2)\cdot a_{b^3}\\
&\vdots\\
a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}…+a_{b^n} &\leq a_{b^{n-1}}+…+a_{b^{n-1}}= (b^n-b^{n-1})\cdot a_{b^{n-1}}\\
\end{aligned}
$$
Sumando, obtendremos:
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=b+1}^{b^n} {a_k} &\leq \sum_{k=2}^n {(b^k-b^{k-1})\cdot a_{b^k}} = (b-1)\cdot\sum_{k=1}^n {b^{k-1}\cdot a_{b^k}}\\
\Rightarrow \sum_{k=b+1}^{b^n} {a_k} &\leq \frac{b-1}{b}\cdot\sum_{k=1}^n {b^{k}\cdot a_{b^k}}\\
\end{aligned}
$$
Usando el mismo razonamiento que antes, se tiene que $(\sum {a_k})$ converge.
Pregunta 5
Enunciado
Considere la sucesión de funciones $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dada por
$$
f_n(x) = \left\{\begin{matrix}
n &\text{ si } n\in(0,\frac{1}{n})\\
0 &\text{ caso contrario}
\end{matrix}\right.
$$
(1) Muestra que $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge puntualmente a la función idénticamente nula en $[0,1]$.
(2) Muestre que $$\lim_{n\to +\infty}{\int_0^1 {f_n(x)\mathrm{d}x}}.$$
(3) Determine (con justificación) si la sucesión $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es uniformemente convergente.
Solución
1.
Sea $x\in[0,1]$.
Si $x\in\{0,1\}\Rightarrow f_n(x) = 0, \forall n\in\mathbb{N}$
Si $x\in(0,1)\Rightarrow \exists n_0\in\mathbb{N}: \frac{1}{n_0} < x$, por el principio arquimediano. Luego, $\forall n\in\mathbb{N}: n > n_0: f_n(x)=0$, ya que $\frac{1}{n} <\frac{1}{n_0} < x$. Así, tenemos que $f_n\to 0, \forall x\in[0,1]$. Es decir, $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge a 0 de de manera puntual.
2.
Veamos $$ \lim_{n\to +\infty}{\int_0^1 {f_n(x)\mathrm{d}x}} = \lim_{n\to +\infty}{\left\{\int_0^{\frac{1}{n}} {f_n(x)\mathrm{d}x}+ \int_{\frac{1}{n}}^1 {f_n(x)\mathrm{d}x}\right\} } $$
Pero $\int_{\frac{1}{n}}^1 {f_n(x)\mathrm{d}x} = 0$ $$ \Rightarrow \lim_{n\to +\infty}{\left\{\int_0^{\frac{1}{n}} {f_n(x)\mathrm{d}x}\right\}}= \lim_{n\to +\infty}{\left\{\int_0^{\frac{1}{n}} {n\cdot\mathrm{d}x}\right\}} $$ $$ \Rightarrow\lim_{n\to +\infty}{\left\{n\cdot\left(\frac{1}{n}-0\right)\right\}}= \lim_{n\to +\infty}{\left\{\frac{n}{n}\right\}} = 1 \neq 0 $$
3.
Sabemos que si $(f_n)$ es uniformemente convergente, con $f_n\to f$, entonces se debe cumplir que $\lim{\int_a^b{f_n}} = \int_a^b{\lim f_n} = \int_a^b f$. Usando el contrareciproco, vemos que $\lim_{n\to\infty}{\int_0^1 {f_n} = 1\neq 0 = \int_0^1{\lim f_n}}$. Luego, $f_n$ no es uniformemente convergente.
Eso es todo. Si hay alguna observación respecto a alguna de las soluciones mostradas, estaré encantado
de saberlo :)