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Álgebra lineal - pre-maestría IMCA 2024 | parte 2

by gwynplaine

Pregunta 3

Enunciado (Problema de autovalores generalizados)

Sea $E$ un espacio vectorial real de dimensión finita, $A, B\in\mathcal{L}(E)$ autoadjuntos. Si el operador $B$ es positivo, pruebe que $E$ tiene una base $\mathcal{V}$ tal que, para todo $v\in\mathcal{V}$, existe $\lambda\in\mathbb{R}$ con $Av = \lambda Bv$.

Solución

Pregunta 4

Enunciado

Se llama gramiano de los vectores $v_1,…,v_k\in\mathbb{R}^n$ al número $$ \gamma(v_1,…,v_k) := \det (\langle v_i, v_j\rangle) $$ donde $\langle,\rangle$ es el producto interno canónico. Pruebe que:

  1. Si $v_1$ es perpendicular a $v_2,…,v_k$ entonces $\gamma(v_1,…,v_k) = \mid v_1 \mid^2\cdot\gamma(v_2,…,v_k)$.
  2. $\gamma(v_1,…,v_k) > 0$ si, y solamente si, los vectores $v_1,…,v_k$ son linealmente independientes.

Enunciado