16-03-2024

Análisis Real - pre-maestría IMCA 2024 | parte 2

by gwynplaine

Esta es la segunda parte del solucionario del examen del curso de análisis real de la pre-maestría del IMCA, 2024. Para ver la primara parte, puedes hacer clic en el siguiente enlace.

Pregunta 3

Enunciado

Sea $f,g:[0,1]\to [0,1]$ dos funciones continuas tales que $f\circ g=g\circ f$. Muestre que existe $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=g(x)$

Solución

Observemos que, como $f$ y $g$ son continuas, entonces existen $x,y\in [0,1]$ tales que $f(x)=x$ y $g(y)=y$

Sea $F=\{x\in [0,1],f(x)=x\}$, afirmamos que $F$ es cerrado.

Sea $(x_n)\subset F$ una sucesión convergente con $x_n\to x\in [0,1]$, entonces $f(x_n)\to f(x)$. Pero tenemos que $f(x_n)=x_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, por ser estos puntos fijos de $f$. $$\Rightarrow f(x_n)=x_n\to x=f(x)$$ Luego, toda sucesión $x_n$ de puntos en $F$ converge a un punto de $F$. Ergo, $F$ es cerrado; y como $F\subset [0,1]$, $F$ es acotado. De ahí, $F$ es compacto.

Sean $a=infF$ y $b=supF$, $a,b\in F$ por ser $F$ compacto. Además, la restricción de $g{|}_{[a,b]}$ es continua y se cumple que $g(a)\ge a$ y $g(b)\le b$, debido a que $g(a),g(b)\in F$.

Definimos la función $$\begin{array}{rl}h:[a,b]& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto h(x)=f(x)-g(x)\end{array}$$

Observe que $h(a)=f(a)-g(a)=a-g(a)\le 0$ y $h(b)=f(b)-g(b)=b-g(b)\ge 0$. Como $h$ es continua por ser diferencia de funciones continuas, entonces existe $z\in [a,b],h(z)=0$. Luego $f(z)=g(z)$.

Pregunta 4

Enunciado (Principio de condensación de Cauchy)

Sea $b>1$ entero, y sea $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión decreciente de números reales no negativos. Pruebe que la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ es convergente si, y solo si, la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}^n{a}_{b^n}$ es convergente.

Solución

$(\Rightarrow )$ veamos. Como $(a_n)$ es decreciente, tendremos: $$\begin{array}{rl}(b-1)\cdot a_b& \le a_1+a_2+\dots +a_b\\ (b^2-b)\cdot a_{b^2}& \le a_{b+1}+a_{b+2}\dots +a_{b^2}\\ (b^3-b^2)\cdot a_{b^3}& \le a_{b^2+1}+a_{b^2+2}\dots +a_{b^3}\\ (b^4-b^3)\cdot a_{b^4}& \le a_{b^3+1}+a_{b^3+2}\dots +a_{b^4}\\ & ⋮\\ (b^n-b^{n-1})\cdot a_{b^n}& \le a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}\dots +a_{b^n}\end{array}$$ lo que es equivalente a $$\begin{array}{rl}(b-1)\cdot a_b& \le a_1+a_2+\dots +a_b\\ (b-1)\cdot b\cdot a_{b^2}& \le a_{b+1}+a_{b+2}\dots +a_{b^2}\\ (b-1)\cdot b^2\cdot a_{b^3}& \le a_{b^2+1}+a_{b^2+2}\dots +a_{b^3}\\ (b-1)\cdot b^3\cdot a_{b^4}& \le a_{b^3+1}+a_{b^3+2}\dots +a_{b^4}\\ & ⋮\\ (b-1)\cdot b^{n-1}\cdot a_{b^n}& \le a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}\dots +a_{b^n}\end{array}$$

Sumando, obtendremos: $$\begin{array}{rl}(b-1)\cdot \sum _{k=1}^n{b}^{k-1}\cdot a_{b^k}& \le \sum _{k=1}^n{a}_k\\ \Rightarrow \sum _{k=1}^n{b}^{k-1}\cdot a_{b^k}& \le \frac{1}{b-1}\cdot \sum _{k=1}^n{a}_k\\ \Rightarrow \sum _{k=1}^n{b}^k\cdot a_{b^k}& \le \frac{b}{b-1}\cdot \sum _{k=1}^n{a}_k\end{array}$$ Como $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ es convergente, entonces $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}^k\cdot a_{b^k}$ está acotada superiormente. Como los términos son no negativos, entonces $(\sum b^k\cdot a_{b^k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ es una sucesión creciente, luego es convergente.

$(\Leftarrow )$ de manera similar, vemos que: $$\begin{array}{rl}{a}_1+a_2+\dots +a_b^2& \le a_b+\dots +a_b=(b^2-b)\cdot a_b\\ a_{b^2+1}+a_{b^2+2}\dots +a_{b^3}& \le a_b^2+\dots +a_b^2=(b^3-b^2)\cdot a_{b^3}\\ & ⋮\\ a_{b^{n-1}+1}+a_{b^{n-1}+2}\dots +a_{b^n}& \le a_{b^{n-1}}+\dots +a_{b^{n-1}}=(b^n-b^{n-1})\cdot a_{b^{n-1}}\end{array}$$

Sumando, obtendremos: $$\begin{array}{rl}\sum _{k=b+1}^{b^n}{a}_k& \le \sum _{k=2}^n(b^k-b^{k-1})\cdot a_{b^k}=(b-1)\cdot \sum _{k=1}^n{b}^{k-1}\cdot a_{b^k}\\ \Rightarrow \sum _{k=b+1}^{b^n}{a}_k& \le \frac{b-1}{b}\cdot \sum _{k=1}^n{b}^k\cdot a_{b^k}\end{array}$$

Usando el mismo razonamiento que antes, se tiene que $(\sum a_k)$ converge.

Pregunta 5

Enunciado

Considere la sucesión de funciones $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dada por $$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n& \text{ si }n\in (0,\frac{1}{n})\\ 0& \text{ caso contrario}\end{array}$$

(1) Muestra que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a la función idénticamente nula en $[0,1]$.

(2) Muestre que $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x.$$

(3) Determine (con justificación) si la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es uniformemente convergente.

Solución

1.

Sea $x\in [0,1]$.

Si $x\in \{0,1\}\Rightarrow f_n(x)=0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Si $x\in (0,1)\Rightarrow \mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}:\frac{1}{n_0}<x$, por el principio arquimediano. Luego, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0:f_n(x)=0$, ya que $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<x$. Así, tenemos que $f_n\to 0,\mathrm{\forall }x\in [0,1]$. Es decir, $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a 0 de de manera puntual.

2.

Veamos $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\{{\int }_0^{\frac{1}{n}}{f}_n(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{n}}^1{f}_n(x)\mathrm{d}x\}$$

Pero ${\int }_{\frac{1}{n}}^1{f}_n(x)\mathrm{d}x=0$ $$\Rightarrow \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left\{{\int }_0^{\frac{1}{n}}{f}_n(x)\mathrm{d}x\right\}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left\{{\int }_0^{\frac{1}{n}}n\cdot \mathrm{d}x\right\}$$ $$\Rightarrow \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\{n\cdot (\frac{1}{n}-0)\}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left\{\frac{n}{n}\right\}=1\ne 0$$

3.

Sabemos que si $(f_n)$ es uniformemente convergente, con $f_n\to f$, entonces se debe cumplir que $lim{\int }_a^b{f}_n={\int }_a^{b}lim{f}_n={\int }_a^{b}f$. Usando el contrareciproco, vemos que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n=1\ne 0={\int }_0^{1}lim{f}_n$. Luego, $f_n$ no es uniformemente convergente.

Eso es todo. Si hay alguna observación respecto a alguna de las soluciones mostradas, estaré encantado de saberlo :)