11-03-2024

Análisis Real - pre-maestría IMCA 2024 | parte 1

by gwynplaine

Esta es la primera parte de un solucionario del examen de análisis real del IMCA. Consta de las soluciones que reuní de otros participantes, recomendaciones de amigos, y las observaciones de los evaluadores.

Pregunta 1

Enunciado

Pruebe que $\mathcal{P}_f(\mathbb{N}) = \{ X : X \text{ es un subconjunto finito de } \mathbb{N} \}$ es un conjunto numerable y que $\mathcal{P} = \{ X : X \text{ es un subconjunto de } \mathbb{N} \}$ es un conjunto no numerable.

Solución 1

Para el primer punto:

Sea $X\in\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$, entonces $\exists n\in\mathbb{N}: X\subset I_n$; donde $I_n = \{1,…,n\}$. Luego, $X\in \mathcal{P}(I_n)$. Como $I_n$ es numerable por se finito, entonces $\mathcal{P}(I_n)$ es numerable. Así, tendremos que $$ \mathcal{P}_f(\mathbb{N})\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}{\mathcal{P}(I_n)} $$ Pero sabemos que $\bigcup{\mathcal{P}(I_n)}$ es numerable por ser unión de conjuntos numerables. Como $\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$ es un subconjunto de un conjunto numerable, entonces debe ser numerable.

Para el segundo punto:

Sabemos que no existen funciones $X \mapsto \mathcal{F}(X,\{0,1\})$ que sean sobreyectivas (ver el teorema de Cantor). Además, existe una biyección entre $\mathcal{P}(X)$ y $\mathcal{F}(X,\{0,1\})$. Luego, no existe una función sobreyectiva $X \mapsto \mathcal{P}(X)$. En particular, no existe una función sobreyectiva $\mathbb{N} \mapsto \mathcal{P}(\mathbb{N})$. Ergo, $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ no puede ser numerable.

Solución 2

Esta es una solución alternativa para el primer punto:

Sea $X = \{ x_1, …, x_n\}\subset\mathbb{N}$. Asignemos un número a cada uno de los símbolos que usamos para representar a $X$ por extensión: $$ \begin{aligned} 0 &\rightarrow 0 \\
1 &\rightarrow 1 \\
& \vdots \\
9 &\rightarrow 9 \\
\{ &\rightarrow A \\
, &\rightarrow B \\
\{ &\rightarrow C \\
\end{aligned} $$ donde $A = 10$, $B = 11$, $C = 12$.

A la función que realiza estas asignaciones, la llamaremos $\texttt{char2int}$, pues nos transforma un caracter en un número entero. Nos tomamos este trabajo con el objetivo de representar cada conjunto $X$ como un número en base $D = 13$ (o cualquier número mayor que $12$, en realidad). Es decir, por ejemplo: $$ I_9 = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \to \overline{A1B2Bb3B4B5B6B7B8B9C}_D $$ Otro ejemplo, sería: $$ I_{10} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \to \overline{A1B2Bb3B4B5B6B7B8B9B10C}_D $$ Así, para el alfabeto $\Omega = \{$’0’ , ‘1’ $,…,$ ‘9’ , ‘{‘ , ‘,’ , ‘}’$\}$ planteamos la siguiente función:

$$ \begin{aligned} \varphi : \Omega^* &\to \mathbb{N}\\
s &\mapsto \sum_{i = 0}^{\text{len}(s)} {\texttt{char2int}(s[\text{len}(s) - i]) \cdot D^i} \end{aligned} $$ donde $D = 13$, y $\Omega^*$ denota el conjunto de todas las cadenas de longitud finita que se pueden formar con $\Omega$.

La función $\varphi$ es una inyección de $\Omega^*$ en $\mathbb{N}$ debido a que la representación polinomial de un número natural en una base dada es única.

Claramente, el conjunto de las representaciones como cadena de caracteres de cualquier $X\subset\mathbb{N}$ finito es un subconjunto de $\Omega^*$. Luego, ese conjunto es un conjunto contable.

Ahora bien, es posible construir una función inyectiva de $\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$ en $\Omega^*$:

$$ \begin{aligned} \texttt{to_string} : \mathcal{P}_f(\mathbb{N}) &\to \Omega^* \\
X = \{x_1,…,x_n\} &\mapsto \texttt{to_string}(X) \end{aligned} $$

Así, $\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$ es contable.

Pregunta 2

Enunciado

Sea $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de números reales. Indique la verdad o falsedad de los siguientes enunciados, justificando su respuesta con una demostración o contraejemplo.

a) Sea $\mathbb{N} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N_k}$ una unión disjunta, donde para cada $k\in \mathbb{N}$, se tiene que $\mathbb{N}_k$ es un conjunto infinito de $\mathbb{N}$. Si para cada $k\in\mathbb{N}$, la subsucesión $(u_n)_{n\in\mathbb{N}_k}$ converge al valor de $l\in\mathbb{R}$, entonces la sucesión $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ a converge al valor de $l\in\mathbb{R}$.

b) Sea $\mathbb{N} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}^{p}\mathbb{N_k}$ una unión disjunta, donde para cada $k\in I_p$, se tiene que $\mathbb{N}_k$ es un conjunto infinito de $\mathbb{N}$. Si para cada $k\in I_p$, la subsucesión $(u_n)_{n\in\mathbb{N}_k}$ converge al valor de $l\in\mathbb{R}$, entonces la sucesión $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ a converge al valor de $l\in\mathbb{R}$.

c) Si la sucesión $(u^2_n)$ es convergente, entonces $(u_n)$ es convergente.

d) Si la sucesión $(u^3_n)$ es convergente, entonces $(u_n)$ es convergente.

e) Si la sucesión $(u^2_n)$ es convergente al valor $0$, entonces $(u_n)$ es convergente.

Solución

a) (falso) Sean $p_1, p_2, …, p_n, …$ la sucesión ordenada de los números primos, definimos $\mathbb{N}_{k-1} = \{p_k^i, i\in\mathbb{N}\}$ para $k>1$. Hacemos $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} - \bigcup_{k=2}^{\infty}\mathbb{N}_k$ y definimos $(u_n)$ como sigue: $$ \text{Para } n\in\mathbb{N}_k, u_n = \left\{\begin{matrix} 7 &\text{ si } n=\min{\mathbb{N}_k}\\
\frac{1}{n} &\text{ caso contrario} \end{matrix}\right. $$ Así, las subsucesiones $(u_n)_{n\in\mathbb{N}_k}$ convergen a 0, pero $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ no converge porque tiene dos valores de adherencia: $7$ y $0$.

b) (verdadero) Para cada $k\in I_p$, se tiene que $u_n \to l$ $$ \Rightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists n_k\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}:n>n_k \rightarrow |u_n - l| < \varepsilon $$

Si tomamos $n_0 = \max_{k\in I_p}\{n_k\}$, entonces tendremos que $$ \forall \varepsilon > 0: \forall n\in\mathbb{N}:n>n_0 \rightarrow |u_n - l| < \varepsilon $$

Luego, $u_n \to l$.

c) (falso) Basta tomar $u_n=(-1)^n$. $u_n^2 \to 1$ pero $u_n$ no converge.

d) (verdadero) $u_n^3 \to l \Rightarrow f(u_n^3)\to f(l)$ cuando $f$ es continua. Basta tomar $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Luego $u_n \to \sqrt[3]{l}$.

e) (verdadero) $u_n^2\to 0$, entonces se cumple que $$ \forall \varepsilon > 0: \exists n_0\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N}:n>n_0 \rightarrow |u_n^2| < \varepsilon $$

$$ \Rightarrow |u_n| < \sqrt\varepsilon $$

Luego, $u_n \to 0$.

Si hay alguna observación respecto a alguna de las soluciones mostradas, estaré encantado de saberlo :)

La segunda parte del solucionario se encuentra en el siguiente enlace.