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Álgebra lineal - pre-maestría IMCA 2024 | parte 1
by gwynplaine
Esta es la primera parte de un solucionario del examen de álgebra lineal del IMCA. Consta de las soluciones que reuní de otros participantes, recomendaciones de amigos, y las observaciones de los evaluadores. Para ver el solucionario del examen de análisis real, puedes hacer clic en estos enlaces.
Pregunta 1
Enunciado
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Diremos que dos bases $B$ y $B’$ de $V$ son vecinas si difieren en un elemento. Por ejemplo las siguientes parejas de bases de $\mathbb{R}^3$ son vecinas
- $B = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ y $B’ = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$
- $B = \{(1,0,0),(2,1,3),(1,0,1)\}$ y $B’ = \{(1,0,0),(0,100,5),(1,0,1)\}$
- $B = \{(2,1,4),(0,1,9),(-\pi,0,0)\}$ y $B’ = \{(2,1,4),(-\pi,0,0),(0,0,1)\}$
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ y dos bases de $V$, $B$ y $B’$. Demuestre que existen bases $B_0, B_1, … , B_n$ de modo que
i) $B_0=B$, y $B_n=B’$,
ii) $B_i$ y $B_{i+1}$ son vecinas, para todo $i = 0, 1, …, n-1$.
Solución
Observe que, si $Z=\{u_1,…,u_n\}$ una base de $V$, notemos lo siguiente:
Sea $v\in V$, entonces existen (únicos) $\alpha_i\in\mathbb{R}$ tales que: $$ v = \sum_{i=1}^n {\alpha_i u_i}. $$ Veamos que el conjunto $\{v, u_2,…,u_n\}$, es una base de $V$ cuando $\alpha_1 \neq 0$:
Hagamos
$$
\begin{aligned}
\beta_1 v + \beta_2 u_2 +…+ \beta_n u_n, \beta_i\in\mathbb{R}, i = \{1,…,n\} \\
\Rightarrow \beta_1 \left(\sum_{i=1}^n {\alpha_i u_i}\right) + \beta_2 u_2 +…+ \beta_n u_n, \beta_i\in\mathbb{R}, i = \{1,…,n\}\\
\Rightarrow \alpha_1\beta_1 u_1 + (\beta_1 \alpha_2 + \beta_2) u_2 +… + (\beta_1\alpha_n + \beta_n)u_n = 0
\end{aligned}
$$
Como $u_1,…,u_n$ son l.i., entonces tenemos:
$$
\begin{aligned}
\alpha_1\beta_1 &= 0\\
\beta_1\alpha_1 &= -\beta_2\\
&\vdots\\
\beta_1\alpha_n &= -\beta_n
\end{aligned}
$$
Para que $\{v, u_2, …, u_n\}$ sea l.i., basta que $\alpha_1 \neq 0$. Es decir, no es necesario
$\alpha_i = 0$ para todo $i\in\{1,…,2\}$; únicamente $\alpha_1$.
Tomando eso en cuenta, podemos afirmar que $Z_1 =\{\sum_{i=1}^n {\gamma_i u_i}, u_2,…,u_n\}$, con $\gamma_i\in\mathbb{R}-\{0\}, i=\{1,…,n\}$ es base vecina de $Z$.
Si $B = B’$, basta reemplazar $v_i$ con $\sum_{j=1}^n {v_j}$ para todo $i=1,…,n$.
Si $B\neq B’$: como $B$ es base, entonces $\forall w_i\in B’$ existen $\alpha_1,…,alpha_n\in\mathbb{R}$ tales que $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} v_j = w_i$. Ahora, debe existir un $i\in\{1,..,n\}$ que cumpla que $\alpha_{i1}\neq 0$. Luego, tomamos ese $w_i$ y hacemos $B_1=\{w_i,v_2,…,v_n\}$. Llamamos a ese $w_i=u_1$, entonces $B_1=\{u_1,v_2,…,v_n\}$ es base vecina de $B_0=B$. Usando el mismo procedimiento encontramos $u_2=w_i$ tal que $w_i=\sum_{i=1}^n {\alpha_{ij}v_j}$ con $\alpha_{i2}\neq 0$ y $\alpha{ij}\in\mathbb{R}$, $j\in\{1,…,n\}-\{2\}$. Así, conseguimos $u_2$ y $B_2=\{u_1,u_2,v_3…,v_n\}$, que es vecino de $B_1$.
Siguiendo ese razonamiento, $B_{n-1} =\{u_1,u_2,…,u_{n-1},v_n\}$ que es vecino de $B_n$ y $B_{n-2}$. $B_n$ será, entonces, $\{u_1,…,u_n\}$ pero como $w_i$ es $u_j$; de donde $B_n=B’$.
Pregunta 2
Enunciado
Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal tal que $$ T^{2024} = \pi T. $$
Demuestre que $$ V = \ker(T)\oplus Ima(T). $$
Solución
Sabemos que $\ker(T) + Ima(T) = V$.
Sea $v\in\ker(T)\oplus Ima(T)$, como $v\in\ker(T)$, entonces existe $w\in V$ tal que $T(w) = v$. Luego, tenemos que $$ T^{2023}\circ T(w) = T^{2023}(v) = 0 \Rightarrow \pi T(w) = \pi v = 0 $$ De ahí, $v=0$. Luego, la suma es directa.
Si hay alguna observación respecto a alguna de las soluciones mostradas, estaré encantado de saberlo :)